{"id":57031,"date":"2022-11-26T16:02:16","date_gmt":"2022-11-26T15:02:16","guid":{"rendered":"https:\/\/www.unicusano.it\/blog\/?p=57031"},"modified":"2022-11-26T16:02:16","modified_gmt":"2022-11-26T15:02:16","slug":"logica-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.unicusano.it\/blog\/universita\/logica-matematica\/","title":{"rendered":"Logica matematica: cos’\u00e8 e come funziona"},"content":{"rendered":"

Ti stai chiedendo cos’\u00e8 la logica matematica<\/strong>, come funziona e come migliorare le tue capacit\u00e0 in questo ambito? Ottimo, sei nel posto giusto: in questa guida ti spiegheremo cosa si intende per logica matematica<\/strong>, quali sono le competenze logico matematiche<\/strong> da sviluppare e come affrontare gli esercizi di questa disciplina.<\/p>\n

Iniziamo subito dall’etimologia: la parola logica deriva dal greco “logos”, un termine ricco di molteplici significati. Nella sua accezione pi\u00f9 comune ed utilizzata il termine “logica” significava “linguaggio”, ma quando si parlava di matematica il termine assumeva il significato di “frazione”, oppure poteva riferirsi pi\u00f9 in generale al “pensiero”.<\/p>\n

La logica matematica che si studia nelle facolt\u00e0 di matematica e di ingegneria<\/a> \u00e8 inoltre qualcosa di molto lontano e diverso dalla matematica che siamo abituati a studiare a scuola, e non ha niente a che vedere con lo studio di problemi pratici e numerici. La logica matematica studia infatti i rapporti, e tutto ci\u00f2 che si pu\u00f2 rapportare: i cosiddetti “commensurabili”. Vediamo pi\u00f9 nel dettaglio cos’\u00e8 la logica matematica.<\/p>\n

Logica matematica: la spiegazione semplice<\/h2>\n

La logica matematica \u00e8 quella branca della matematica che si occupa dei sistemi formali, ossia del modo in cui si redigono i concetti e le dimostrazioni (delle proposizioni, dei teoremi e cos\u00ec via), per fare in modo che questi siano chiari e precisi. In passato la logica poteva riferirsi allo studio matematico o allo studio del ragionamento matematico, a oggi questi due concetti si sovrappongono, poich\u00e9 si studia il pensiero matematico in quanto pensiero preciso e ordinato.<\/p>\n

Possiamo quindi affermare che la logica matematica \u00e8 la redazione di proposizioni. Tali proposizioni possono assumere due stati di veridicit\u00e0, ossia vero o falso. Nella logica matematica non sono ammessi altri stati della proposizione: questo vuol dire, in altre parole, che una proposizione \u00e8 un’affermazione che esprime un valore di verit\u00e0.<\/p>\n

Facciamo un esempio pratico:<\/p>\n

    \n
  • La proposizione A afferma che \u201c100 \u00e8 un numero pari\u201d<\/li>\n
  • La proposizione B afferma che \u201cil cielo \u00e8 nero a pallini viola\u201d<\/li>\n<\/ul>\n

    Le due frasi sono due\u00a0proposizioni<\/i>\u00a0di cui una vera (A) e una falsa (B).<\/p>\n

    Non possono invece essere considerati proposizioni tutte quelle frasi che esprimono un concetto soggettivo, come le affermazioni:<\/p>\n

      \n
    • \u201cMi piace leggere\u201d<\/li>\n
    • \u201cMi piacerebbe viaggiare\u201d<\/li>\n<\/ul>\n

      Queste frasi infatti esprimono un desiderio, o un piacere, che non pu\u00f2 essere definito come vero o falso in modo assoluto.<\/p>\n

      I connettivi delle proposizioni<\/h3>\n

      Le proposizioni possono essere collegate e combinate tra di loro utilizzando i cosiddetti connettivi, ossia termini come \u201ce\u201d, \u201co\u201d, \u201cnon\u201d, \u201cse\u2026 allora\u201d,\u00a0 e cos\u00ec via. Questi elementi hanno il compito di legare tra loro pi\u00f9 proposizioni: il risultato di questa combinazione \u00e8 definito enunciato.<\/p>\n

      Le proposizioni semplici invece, ossia che non prevedono l’utilizzo di connettivi, sono definite atomiche.<\/p>\n

      Ad esempio,\u201c90 \u00e8 divisibile per 3\u201d \u00e8 una proposizione atomica, mentre \u201cSe ci sar\u00e0 il sole allora andr\u00f2 a giocare a pallone\u201d, \u00e8 un enunciato composto da due proposizioni (\u201cCi sar\u00e0 il sole\u201d e \u201candr\u00f2 a giocare a pallone\u201d) collegate dal connettivo “Se…allora”.<\/p>\n

      Il linguaggio formale della logica matematica<\/h2>\n

      Durante la sua evoluzione, l’uomo ha sviluppato un modo di parlare molto complesso e pieno di ambiguit\u00e0, in quanto molti concetti possono essere interpretati in modo soggettivo. Per evitare che questo accada i matematici hanno creato un linguaggio semplice, chiaro e privo di ambiguit\u00e0, che ha preso il nome di linguaggio formale.<\/p>\n

      A tale scopo \u00e8 stato sviluppato un vero e proprio alfabeto, ossia un insieme di simboli da utilizzare per costruire delle frasi, che non \u00e8 altro che una sequenza di simboli che appartiene al nostro alfabeto. A partire dalle frasi \u00e8 stata poi definita una sintassi, ossia una serie di regole che stabiliscono l’ordine che devono assumere i simboli per poter essere accettati. La sintassi si occupa solo dell’ordine dei simboli e non della veridicit\u00e0 di ci\u00f2 che esprimono.<\/p>\n

      Facciamo un altro esempio pratico:<\/p>\n

        \n
      • 5x(2+8)=50: \u00e8 una formula sintatticamente corretta<\/li>\n
      • 5x(=50)2+8: \u00e8 una formula sintatticamente non corretta<\/li>\n
      • 5x(2+8)=100: \u00e8 una formula sintatticamente corretta, e non \u00e8 importante se il contenuto sia o meno vero.<\/li>\n<\/ul>\n

        Possiamo quindi affermare che la sintassi<\/strong> ha il compito di stabilire delle regole che permettono di formulare delle Frasi Ben Fatte: la discussione del contenuto avverr\u00e0 solo in un secondo momento, quando si avranno di fronte frasi sintatticamente corrette.<\/p>\n

        I simboli utilizzati generalmente per la creazione delle cosiddette Frasi Ben Fatte, concetto che approfondiremo a breve, sono i seguenti:<\/p>\n

          \n
        • \u00ac : indica il \u201cnon\u201d cio\u00e8 nega la proposizione. A volte viene anche indicato con una barra orizzontale sopra la lettera indicante la proposizione.<\/li>\n
        • \u02c4 : designa l\u2019 \u201ce\u201d come congiunzione.<\/li>\n
        • \u02c5 : indica l\u2019 \u201co\u201d come disgiunzione.<\/li>\n
        • \u2192\u00a0: \u00e8 utilizzata per indicare l\u2019implicazione.<\/li>\n
        • Simboli per indicare le proposizioni: A, B, C, \u2026<\/li>\n
        • Simboli accessori come le parentesi: ( e )<\/li>\n<\/ul>\n

          I simboli \u00ac, \u02c4, \u02c5, \u2192 hanno degli ordini di priorit\u00e0 che permette di evitare l\u2019uso eccessivo di parentesi, che altrimenti darebbero luogo ad interpretazioni secondo la priorit\u00e0 che ognuno darebbe nel leggere le proposizioni ed i simboli. La priorit\u00e0 pi\u00f9 alta ce l\u2019ha il simbolo \u00ac, poi \u02c4, poi \u02c5, infine \u2192 .<\/p>\n

          Le Frasi Ben Fatte<\/h3>\n

          A questo punto \u00e8 lecito domandarsi: una volta stabiliti simboli, sintassi e priorit\u00e0, a cosa serve saper formulare queste proposizioni?<\/p>\n

          \u00c8 una domanda a cui abbiamo gi\u00e0 risposto in parte, affermando che la logica di per s\u00e9 serve a redigere teoremi e dimostrazioni in maniera chiara e senza alcuna ambiguit\u00e0. Ma per poter formulare questo tipo di proposizione \u00e8 innanzitutto necessario il calcolo proposizionale, ossia essere in grado di manipolare le proposizioni e i connettori in modo da stabilirne la veridicit\u00e0 finale.<\/p>\n

          Come abbiamo gi\u00e0 detto infatti alle proposizioni, e in particolare alle Frasi Ben Fatte<\/strong>, possiamo attribuire un valore di veridicit\u00e0. In logica i valori possibili sono solamente due, ossia Vero (indicato con la lettera V) e Falso (indicato con la lettere F). Una volta stabilito ci\u00f2, si pu\u00f2 procedere con la redazione delle cosiddetta Tavole della Verit\u00e0. Le Tavole sono molto utili, perch\u00e9 semplici da redigere e al contempo davvero efficaci. Ecco un esempio di Tavola della Verit\u00e0:<\/p>\n

          \"\"<\/p>\n

           <\/p>\n

          In questa\u00a0Tavola della Verit\u00e0<\/i>\u00a0abbiamo il risultato dell\u2019operatore di implicazione. Ovvero A implica B. Nel caso in cui A sia vera e B sia vera, allora A implica B \u00e8 vera e cos\u00ec via. Per ogni operatore \u00e8 possibile restituire una tabella simile.<\/p>\n

          I paradossi della logica matematica<\/h3>\n

          Abbiamo fin qui parlato del modo di redigere un concetto e della sintassi che \u00e8 necessario utilizzare affinch\u00e9 sia possibile redigere effettivamente una frase. Molto spesso per\u00f2, in filosofia cos\u00ec come in matematica, ci si trova di fronte ai cosiddetti Paradossi. Si tratta di un concetto molto importante, perch\u00e9 \u00e8 proprio dai paradossi che \u00e8 nato il germe che ha dato vita allo studio della logica matematica.<\/p>\n

          Il termine paradosso deriva dal greco, e vuol dire “andare contro l\u2019opinione comune”: redigere un paradosso, in altre parole, significa redigere un ragionamento che va contro la logica comune.<\/p>\n

          Uno degli esempi pi\u00f9 comuni di paradosso \u00e8 quello del mentitore. Ipotizziamo di trovarci davanti ad un giudice e di dare la nostra testimonianza in merito ad un fatto accaduto. Il giudice per\u00f2 non \u00e8 sicuro che stiamo dicendo la verit\u00e0, perci\u00f2 ci pone la domanda: “Stai dicendo la verit\u00e0?”. A tale domanda rispondiamo “No, io sto mentendo”. Si tratta tuttavia di una risposta che non ha molto significato, perch\u00e9:<\/p>\n

            \n
          • se supponiamo che io stia davvero mentendo, significa che io sto dicendo il falso. Quindi l\u2019ipotesi che l\u2019affermazione \u201cio sto mentendo” sia vera, \u00e8 contraddittoria, porta quindi alla sua contraddizione.<\/li>\n
          • Supponiamo quindi che la frase \u201cIo sto mentendo\u201d sia falsa. Allora \u00e8 vero il suo contrario, quindi sto dicendo il vero.<\/li>\n<\/ul>\n

            In entrambi i casi si arriva ad una contraddizione. Ed \u00e8 proprio per risolvere queste contraddizioni che \u00e8 nata la logica matematica.<\/p>\n

            Credits: tadamichi\/GettyImage<\/strong><\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Scoprilo in questa guida Unicusano dedicata a proposizioni, frasi ben fatte e paradossi.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.unicusano.it\/blog\/universita\/logica-matematica\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Logica matematica: cos'\u00e8 e come funziona - Blog dell'Universit\u00e0 Niccol\u00f2 Cusano\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Cos'\u00e8 la logica matematica e come funziona? 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